Книга представляет собой вводный курс в конструктивные методы исследования динамических систем. Описаны методы прикладной символической динамики и их применение к изучению неперерывных и дискретных динамических систем. Рассматриваемые методы исследования глобальной структуры динамических систем основаны на использовании символического образа системы, представляющего собой конечный ориентированный граф, построенный по выбранному покрытию фазового пространства. Полученный граф порождает символическую динамику, отражающую динамику исходной системы. Таким образом, дискретизация исходной системы с помощью символического образа позволяет изучать ее глобальную структуру в терминах теории графов и использовать хорошо разработанные алгоритмы на графах. Материал содержится в 15 разделах и 4 приложениях. Порядок разделов в основном соответствует возрастанию сложности материала. Для понимания большинства разделов достаточно знаний в об'еме двух стандартных курсов математики для университетов. Большей подготовки требуют разделы 12 и 15.
Первый раздел является вводным и содержит основные определения и примеры динамических систем. Во втором разделе вводится понятие символического образа и приводится алгоритм его построения. Раздел 3 посвящен методам локализации периодических траекторий с помощью символического образа. В следующем разделе описано построение периодических орбит с помощью метода Ньютона. Разделы 5 и 6 содержат описание алгоритмов локализации цепно-рекуррентных и инвариантных множеств. Аттракторы и фильтрации обсуждаются в разделах 7 и 8. Глобальный фазовый портрет динамической системы может быть описан с помощью символического образа с использованием структурного графа, отражающего связи между компонентами цепно-рекуррентного множества системы. Построению структурных графов системы и символического образа посвящен раздел 9. Важная характеристика поведения динамической системы --- энтропия --- обсуждается в разделе 10. Приводятся основные результаты о способах вычисления энтропии специальных пространств последовательностей и на их основании предлагается способ оценки топологической энтропии системы с помощью последовательности символических образов. В качестве примера приведены оценки энтропии отображения Хенона и логистического отображения.
Раздел 11 посвящен понятию проективного пространства, способам введения координат и действию линейного отображения на нем. Введение проективного пространства удобно при изучении двумерных линейных систем, поскольку позволяет рассматривать исходное отображение как отображение окружности. Определяется показатель Ляпунова для траекторий линейных дискретных систем на проективном пространстве. Этот раздел является необходимым для понимания раздела 12, посвященного предельному множеству показателей Ляпунова --- спектру Морса. Приведен алгоритм оценки спектра Морса исходной системы через спектр Морса символического образа. Вопросы, связанные со структурной устойчивостью, эквивалентностью и Ω-устойчивостью обсуждаются в разделах 13-15. Приведены алгоритмы проверки цепно-рекуррентной и структурной устойчивости.
Каждый раздел снабжен достаточным количеством примеров, приведены результаты численных экспериментов с подробными комментариями. Теоремы приводятся без доказательств, основное внимание уделено их применению. Доказательства необходимых теорем читатель может найти в соответствующих оригинальных работах.
В приложения вынесены как необходимые сведения из начальных курсов, так и описание конкретных алгоритмов исследования. Приложение А содержит сведения по общей теории дифференциальных уравнений. Приложение B посвящено исследованию поведения маятника. В приложении С описаны алгоритмы построения инвариантных многообразий седловых неподвижных точек дискретных динамических систем и приведены примеры реализации. И, наконец, Приложение D содержит исследование отображения Икеда методами компьютерного моделирования при различных значениях параметров. Книга рассчитана как на студентов старших курсов, так и на исследователей, занимающихся различными приложениями теории динамических систем.
Книгу можно приобрести в книжном магазине СПбГУ.